Высшая математика. Лекции. Часть 2, Владимир Живетин
ru
Books
Владимир Живетин

Высшая математика. Лекции. Часть 2

Read
2,316 printed pages
В учебном пособии в доступной форме изложен материал курса высшей математики (объем — 600 часов) для широкого круга лиц с различным исходным уровнем математической подготовки в его традиционном виде.
Учебное пособие ранее было издано и используется в учебном процессе в Российском государственном гуманитарном университете, Казанском государственном педагогическом университете и ряде других вузов и может быть рекомендовано для широкого круга специальностей, в том числе для технических вузов.
Impression
Add to shelf
Read
128Readers11Bookshelves
0Impressions
1Quote

One fee. Stacks of books

You don’t just buy a book, you buy an entire library… for the same price!

Always have something to read

Friends, editors, and experts can help you find new and interesting books.

Read whenever, wherever

Your phone is always with you, so your books are too – even when you’re offline.

Bookmate – an app that makes you want to read

Impressions

👍
👎
💧
🐼
💤
💩
💀
🙈
🔮
💡
🎯
💞
🌴
🚀
😄

How did you like the book?

Sign in or Register
Mikhail Korepanov
Mikhail Korepanovhas quoted3 years ago
Следовательно, произведение y=1,45⋅2,28⋅1,12≈3,71 обусловливает погрешность δ(y)≤2,5%,
∆(y) = ∆(3,71) = δ(y)⋅y = 0,025⋅3,71<0,09.
10.11. Дифференцирование неявной функции
Пусть переменные x и y связаны соотношением
F(x,y) = 0, (10.13)
где F(x,y) — функция переменных (x,y), определенная в некоторой области σ. Если для каждого значения x из некоторого промежутка существует такое y, которое совместно с x удовлетворяет (10.13), то этим определяется функция y=y(х), для которой равенство F(х,y(х))=0 справедливо при любом значении x из данного промежутка.
Функцию y=y(х), заданную с помощью соотношения (10.13), не разрешенного относительно y, называют неявной функцией от x. Термин «неявная функция» характеризует лишь способ задания, а не ее свойства.
Пример: F(x,y)=x2/a2+y2/b2–1=0. Здесь F(x,y)=0 есть каноническое уравнение эллипса. Из уравнения x2/a2+y2/b2=1 получаем

Вычислим y′. С этой целью продифференцируем (10.13) по x и воспользуемся формулой полной производной. Положив в ней y=y(x), получим полную производную от F по x:

Учитывая, что F=0, получим

Из последнего равенства следует (при ∂F/∂y≠0)
(10.14)
Последняя формула выражает правило дифференцирования неявной функции. Производные высших порядков d2y/dx2 и т. д. можно получить с помощью повторного дифференцирования тождества (10.14) по x.
Пример. Дано F(x,y)=y3+3y–x=0. Найти dy/dx.
Решение. = –1; . Тогда

Лекция 4
10.12. Формула Тейлора для функции двух переменных
Для функции одной переменной имеем (8.20)

Рассмотрим теперь f(x,y) — функцию двух переменных. Пусть x и y близки к a и b соответственно. Тогда формула “нулевого приближения” имеет вид f(x,y)=f(a,b). Если учесть члены первого порядка малости, то получим
f(x,y) = f(a,b) + А(х – a) + В(y – b), (10.15)
где A, B — некоторые числовые коэффициенты. Для вычисления А возьмем частные производные по x от обеих частей (10.15):

Так как А=const, то следует положить x=a, y=b, и тогда Аналогично: В=Положив х=a, y=b, получим В=Окончательно,
f(x,y) = f(a,b) + (х – a) + (y – b). (10.16)
Еще более точная формула «второго приближения», учитывающая также и члены второго порядка малости, имеет вид
f(x,y) = f(a,b) + [А(х – a) + В(y – b)] + [C(х – a)2 +D(х – a)(y – b)+E(y – b)2], (10.17)
где A, B, C, D, E — некоторые числовые коэффициенты. Вычислим их, определив первые и вторые частные производные:

;
Полагая в этих равенствах х=a, y=b, получим

Подставляя A, B, C, D, E в (10.17), будем иметь
f(x,y)=f(a,b) + [(х–a) + (y–b)] + 2(10.18)
Хотя эта формула получена независимо от (10.16), в них А и В тождественны, а также появились поправки второго порядка малости.
Процесс учета поправок более высокого порядка малости можно было бы продолжить. Отметим, что |x–a| и |y–b| должны быть очень малы, в противном случае формула (10.18) дает неверные результаты. Полученные формулы можно применить, в частности, для исследования точек экстремума функции f(x,y).
10.13. Экстремумы функции двух переменных. Необходимые и достаточные условия существования экстремума
Дана функция z=f(x,y). Предположим, что она имеет экстремум (максимум или минимум) при х=a, y=b. В качестве примера на рис. 3 приведено расположение линий уровня функции f в плоскости аргументов вблизи точки М экстремума. Тогда ясно, что если положить y=b, а изменять только x, то полученная функция f(x,b) от одного переменного x имеет при х=а экстремум. Геометрически это означает, что если следовать вдоль ВК, то в точке М будет экстремум. Но, как известно, при этом должно быть

В квадратных скобках стоит производная по х при y=b, т. е. это частная производная по х. Аналогично рассматривается случай х=а и изменяющегося y. В результате получаем необходимое условие экстремума функции двух переменных в виде
(10.19)

Рис. 3
Раньше для y=f(x) необходимое условие экстремума являлось “почти достаточным”. Так, например, если то в точке х=а имеем минимум при и максимум при
Можно было бы ожидать, что и для f(x,y) при выполнении (10.19) экстремум в точке (a,b) обязательно будет, если в ней частные производные второго порядка отличны от нуля. Но это не так. Достаточное условие оказывается более сложным. Для иллюстрации сказанного рассмотрим
Пример. Дано: z=x2+y2. Найти экстремум.
Решение. Условие (10.19) дает 2х=0, 2y=0, т. е. точкой предполагаемого экстремума является начало координат (рис. 4). Точка O с координатами (0,0) есть минимум, так как z(0,0)=0, а в остальных точках z>0. При этом т. е. вторые производные постоянны. Можно показать, что функция z=Ax2+By2 имеет при A>0, B>0 в начале координат минимум, а при A<0, B<0 — максимум.

Рис. 4
Иная ситуация, если z=x2–y2. При этом на рис. 5 линии уровня имеют вид гипербол, а в заштрихованной части z>0. При y=0 имеем z=x2, т. е. от начала координат вдоль оси OX функция в обе стороны возрастает, а в самом начале имеет минимум. Если же x=0, то z=–y2, т. е. вдоль оси OY функция в обе стороны убывает, а в самом начале имеет максимум.

Рис. 5
Если рассматривать другие прямые, проходящие через начало координат, то вдоль одних из них функция имеет в начале максимум, а вдоль других — минимум. Такой случай называется минимаксом, когда в начале координат экстремума нет, хотя необходимые условия выполняются и частные производные второго порядка не все равны нулю.
Рассмотрим общий случай. Если выполняются условия (10.19) (), формула (10.18) принимает вид
f(x,y) = f(a,b) + 2]. (10.20)
При этом мы пренебрегаем членами третьего порядка малости в силу их малой значимости. Обозначим: x–а=ξ, y–b=η. Тогда из (10.20) следует, что все зависит от поведения квадратичной формы
P(ξ,η) = Aξ2 + 2Bξη +Cη2,
где P(ξ,η)=f(x,y)–f(a,b). Если P(ξ,η)>0, то f(x,y)>f(a,b) вблизи точки (а,b), т. е. имеет место минимум. Если P(ξ,η)<0, то f имеет максимум. Если же P(ξ,η) принимает значения обоих знаков, то в точке (а,b) минимакс. Установим по значениям А, В, С наличие минимума, максимума, минимакса. Представим Р в виде
P(ξ,η) = η2(At2 + 2Bt + C), (10.21)
где t=ξ/η. Пусть дискриминант В2–АС>0, тогда уравнение At2+2Bt+C=0 имеет два вещественных корня, при переходе через которые он меняет знак. При этом имеем минимакс.
Если же В2–АС<0, то многочлен At2+2Bt+C имеет мнимые корни и поэтому знака не меняет. Это случай экстремума. Чтобы определить, каков он, положим в (10.21) t=0.
Математика, sevpear
Прочесть , Евгений Марченко
Евгений Марченко
Прочесть
  • 1.2K
  • 57
Подготовка, Катерина Чеботарева
Катерина Чеботарева
Подготовка
  • 21
  • 3
Я читаю , Binariel
Binariel
Я читаю
  • 18
  • 3
Математика, Алексей Русинов
Алексей Русинов
Математика
  • 15
  • 3
fb2epub
Drag & drop your files (not more than 5 at once)