Даглас Хофштадтер

Если затянуть Петлю еще туже, мы получим замечательную картину «Рисующие руки» (рис. 135), на которой каждая из рук рисует другую — двуступенчатая Странная Петля.

В самой упрощенной форме открытие Гёделя сводится к переводу на язык математики одного из старинных философских парадоксов, так называемого парадокса Эпименида (или парадокса лжеца). Критский философ Эпименид был автором бессмертного суждения: «Все критяне — лжецы». В более прямой форме парадокс звучит так: «Я лгу» или «Это высказывание — ложь».

Все непротиворечивые аксиоматические формулировки теории чисел содержат неразрешимые суждения.

Необходимо помнить тот факт, что доказательства являются таковыми только внутри жестких систем теорем.

Гёдель показал, что понятие «доказуемости» уже, слабее понятия истинности вне зависимости от того, какую аксиоматическую систему мы выбираем.

Удивительный вариант парадокса Рассела, называющийся парадоксом Греллинга, получается, если вместо множеств использовать прилагательные. Разделите все прилагательные русского языка на две категории: те, которые описывают самих себя, «самоописывающие», («пятисложное», «шелестящий,» «пренеестественнейший» и т. п.), и те, которые таким свойством не обладают («съедобный», «двусложный», «кратчайший»). Рассмотрим теперь прилагательное «несамоописывающий». К какому классу оно относится? Попробуйте ответить!

Следующее высказывание ложно.
Предыдущее высказывание истинно.

Нет нужды говорить, что все это было намного выше понимания маленького Дагги — и все же своим детским умишком он пытался нащупать все эти глубокие математические понятия. И уже в этих его детских неуклюжих попытках постичь тайну самоприложения вы можете заметить — я могу заметить — первые ростки его увлечения (МОЕГО увлечения!) самоописывающими высказываниями и самоприложимыми мыслями, и главной тайной «самости» — той бесконечно ускользающей сущности, которая заключена в крохотном, всего из одной буквы, слове «Я». Можно даже сказать, что книгу, которую вы держите в руках, — русский перевод моей книги «Гёдель, Эшер, Бах» — лучше всего охарактеризовать как большой трактат, основная цель которого — раскрыть тайну слова «я». К несчастью, читатели, думающие, что заглавие должно быть кратким пересказом содержания, не воспринимают мою книгу таким образом.